OBSERVACIONES CRÍTICAS A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA

Lic. Beatriz Reyes Oribe

Colaboración de Ing. Carlos M. Sarmiento - AUS. Estela del C. Rodríguez

Sobre: Bressan, Ana; “Los principios de la educación matemática realista”; en Aliaga, H; Bressan, A. y Sadovsky, P.; Reflexiones teóricas para la educación matemática; Buenos Aires, Libros del Zorzal 2005; ISBN 987-1081-74-X.

La autora explica los principios de la educación matemática realista (EMR), corriente fundada por H. Freudenthal en Holanda. Bressan sostiene que este movimiento pedagógico surge como reacción frente a otras pedagogías; en particular se enfrenta a la Matemática Moderna y a la enseñanza tradicional; en general y por lo menos desde lo declarativo, aparece enfrentado con casi todas las corrientes pedagógicas en circulación (Piaget, conductismo, mecanicismo, estructuralismo, teoría de los objetivos operacionales, constructivismo, etc.). Sin embargo, de una lectura atenta del contenido de este artículo (así como del material hallado en la web del Grupo Patagónico de Matemática ) surgen numerosos puntos de contacto con el constructivismo. Los señalaremos al hilo de la exposición, aclarando que por el momento nos centramos principalmente en el contenido de este artículo.

Principio de actividad.

Consiste en ‘matematizar’ la realidad. Es decir que en lugar de aprender resultados, se aprenden actividades que llevan a esos resultados.

Por ‘resultado’ la autora y, por lo que parece, el mismo Freudenthal, entienden todos los hallazgos de la ciencia matemática. Esto se ve en que considera resultado al algoritmo, al álgebra y a todas las expresiones y operaciones abstractos que son de la esencia misma de esta ciencia. En realidad, se trata de ‘resultados’ de la investigación matemática llevada a cabo por los grandes científicos; es decir son ‘resultados’ respecto a la evolución o historia de las matemáticas. Pero no son resultados en el otro sentido, de dar una respuesta a un problema concreto.

‘Actividad’ parece ser un proceso que lleva a ‘reinventar’ la matemática. Hay que observar que todas las operaciones matemáticas son actividades, precisamente por ser operaciones. Cualquiera concuerda con que hay que enseñar una actividad que conduzca a un resultado y no el resultado, pero no es fácilmente aceptable que enseñar las actividades específicas de las matemáticas sea un ‘resultado’. Por otra parte, siempre se enseñó una actividad, una operación o un procedimiento para resolver un problema (real o imaginario) y no un resultado.

‘Matematizar’ es organizar y estructurar la realidad. Esta ‘actividad’ es entendida como la esencia de las matemáticas. Esto supone que la realidad no está ordenada en sí misma, sino que necesita que la ordenemos.

Desde un punto de vista pedagógico no se puede insistir lo suficiente en lo dañino que resulta para el niño y también para la cultura de la sociedad en que vive, hacerle creer que el orden es algo implantado por el hombre de modo total. Hay en el hombre dos clases de actividades cognoscitivas: la que aprehende la realidad con su orden, sus valores, su belleza, etc. (todas las ciencias y disciplinas teóricas, además de los fundamentos de la praxis); y la que proyecta nuevas realidades por la técnica, crea obras bellas por el arte, o diseña caminos perfectivos para el sujeto (ética).

Muchos pueblos (entre los que se cuenta la nación de la que era originario Freudenthal) sufrieron las consecuencias durante el s. XX de las ideologías negadoras de un orden real y natural, fundamento de cualquier otro orden creado por el ser humano. Los judíos, los armenios y otros sufrieron las consecuencias de creer que un Estado podría construirse de nuevo, deshaciendo previamente lo que la tradición había hilado a lo largo de siglos. La ciudad de Berlín estuvo a punto de ser destruída para ser rehecha. Muchos chinos, músicos, docentes e intelectuales fueron asesinados o encarcelados para “lavarles el cerebro”, con el fin de deshacer la cultura china que había asimilado elementos occidentales, y construir una cultura china pura desde cero. Pongo estos ejemplos para mostrar que la visión constructiva de la ciencia o de la pedagogía no es para nada inocente, ni menos inocua.

Principio de realidad.

El origen del aprendizaje matemático está en la ‘realidad’ y ésta es lo que el sentido común y el conocimiento previo de los alumnos hacen aparecer en su mente.

Es remarcable el énfasis puesto en usar materiales concretos y dramatizar o graficar experiencias de la vida diaria: colectivo, collar, etc. Creemos que verdaderamente facilita el aprendizaje, sin olvidar que siempre se utilizó el recurso a lo concreto al iniciar esta materia. Lo que parece más novedoso es la multiplicidad de recursos concretos y la búsqueda de situaciones de experiencia.

Lo que es menos convincente es el recurso a representaciones abstractas imperfectas como es el caso de las flechas para reemplazar el signo =. Este signo tiene carácter unívoco y universal. La flecha tiene más de un significado y no es universal, por eso decimos que es imperfecta como signo en un contexto de iniciación matemática. La flecha se utiliza, por ejemplo, en Lógica como signo de implicación, y ésta no es sinónimo de igualdad que se representa con el signo = y en lógica con signo de equivalencia. Por otra parte, en la EMR la flecha tiene siempre el mismo sentido en la suma y en la resta. Eso hace que no represente gráficamente esas operaciones.

El uso de = y de flecha

Es muy negativo el reemplazo, sistemático o eventual, del signo = por la flecha. El = denota identidad, que el miembro izquierdo es idéntico al derecho, y que es lo mismo poner a=b o b=a, porque en definita, ese es el concepto de identidad dentro de todas las ramas de la matémática.

Por el contrario, la flecha tiene un significado mucho más ambiguo dependiendo de la ciencia, rama de la ciencia, o contexto en general donde se lo aplique.

En la lógica proposicional denota implicancia. En la física distingue las magnitudes vectoriales de las escalares. En la química implica reacción. En matemática discreta es la forma representativa de un vector (dentro de la estructura de Espacio Vectorial). Dentro de la geometría plana es la representación gráfica de un vector con inicio en el origen de coordenadas dentro de un sistema cartesiano. También dentro de la geometría es la representación gráfica de un número complejo (con la componente real en el eje de las absisas y la componente imaginaria en el eje de las ordenadas). En análisis matemático, más específicamente en límites de funciones, denota la tendencia de una función al acercarse a un determinado valor de x (en la absisas.

Por último, y no por ello menos importante, a los ejes cartesianos se suele representarlos con una flecha apuntando hacia los valores mayores dando la tendencia de los mismos hacia el infinito. A eso se agrega usos particulares en computación.

Todo esto dentro de las mismas ciencias exactas, sin los usos casuales que puedan darle tanto docentes como alumnos, como por ejemplo, representación de una línea histórica.

Pero lo notable es que se insiste en enseñar símbolos que no serán usados luego en la misma disciplina y que tendrán que ser reemplazados por otros para poder comunicarse con los demás. Es algo parecido a lo que sucedería si cuando un bebe empieza a decir sus primeras palabras, nosotros le inventásemos palabras inexistentes para “facilitarle” el aprendizaje y al poco tiempo le tuviésemos que decir que borre todo ese lenguaje y ahora aprenda el que de verdad sirve para comunicarse con el prójimo.

Ahora bien, del mismo modo se enseñan (porque los chicos no inventan ese artificio) los “árboles” o descomposiciones aditivas . Este método genera diversos problemas pedagógicos: confusión entre cómo se escribe un número y cómo se forma; no enseña el hábito del orden, porque incluso visualmente resulta caótico.

Sin forzar la interpretación, el realismo de esta propuesta pedagógica es dudoso si tomamos en cuenta que todos los otros principios son constructivistas. Salvo que por realidad se entienda lo que está ahí para ser ordenado. Suponemos que es ese en el fondo su significado.

Principio de reinvención

El concepto utilizado es “reinvención guiada”. Se trata de la reinvención de las matemáticas por parte de los chicos con la guía de su maestra. Pareciera que, de modo paralelo al método utilizado en lengua para el aprendizaje de la lectura , en matemáticas se pretende que el niño “descubra” las operaciones, casi como un reproductor individual de la historia universal de la ciencia.

La docente es mediadora entre la situación problemática y el alumno. Si tomamos en cuenta otros trabajos de Bressan –como el mencionado en nota-, sabremos que dicha mediación se produce cuando el docente enseña a descomponer los datos del problema con distintas estrategias del cálculo mental.

Debemos observar que este cálculo mental enseñado por escrito (como no puede ser de otro modo), pierde su sentido, aunque no hay duda que para un investigador puede ser muy interesante transcribir dichas estrategias. Lo que es seguro es que para el niño que no ha aprendido previamente alguna operación, la enseñanza de estas estrategias resulta artificial, porque no es a él a quién se le ha ocurrido hacerlo. En definitiva, el problema central es si los alumnos reinventan realmente las matemáticas o se quedan enmarañados en la selva de tanta descomposición.

Cuando un niño arma un rompecabezas tiene el modelo que debe reconstruir. Pero el que tiene que construir una suma o una resta, por primera vez, no tiene el modelo. Al contrario, el que ya sabe realizar operaciones puede aprender fácilmente estrategias de cálculo. La autora habla más delante de “modelos”, sin embargo estos no son modelos de la operación que hay que “reinventar” o “reconstruir”, sino que el mismo modelo es supuestamente inventado. En realidad es enseñado por el docente, como no puede ser de otro modo.

“Reinvención” de operaciones básicas

El alumno no reinventa los métodos sino que le son inducidos por el docente. Tanto es así, que llega a perderse en el algoritmo para sumar o restar y no sabe cómo continuar, o no deduce por qué le dio distinto un resultado al comprobarlo con otro método o con la calculadora. Esto demuestra que no fue el niño quien generó el procedimiento para la operación, y al no recordar algún paso correctamente, se frustra ante la ineficacia del método.

Respecto a esto mismo se podría considerar una comparación de los métodos para la suma:

Suma posicional:

1) acomodar en columnas los números a sumar y ubicarse en la última columna

2) sumar los números de la columna actual

3) si el resultado es mayor que 10 (diez), separar las decenas de las unidades, colocar las unidades en la fila de resultado, en la columna correspondiente y ubicar las decenas en la columna inmediata a la izquierda.

4) ubicarse en la siguiente columna (la inmediata izquierda) y volver al paso 2 hasta que no queden más columnas.

Suma en árbol:

1) separar cada número en decenas y unidades.

2) Sumar las decenas por un lado en formato de múltiplo de 10 (Ej. 20, 30, etc.)

3) Sumar las unidades por otro lado

4) Si el resultado de la suma de las unidades es mayor que 10 (diez), volver a separar en decenas y unidades y sumar las decenas de este último resultado con el resultado de las suma de las decenas.

5) Finalmente sumar el resultado de las suma de todas las decenas con las unidades.

Si bien en éste ultimo método se podría juntar los pasos 2 y 3 en un único paso, los separo por una importancia particular: el niño debe tener presente (principo constructivista) que 22 es 20 + 2 y separarlos para poder sumar las unidades por un lado y decenas por otro, sin tener a veces el concepto de la decena o “conjunto de 10”. Suelen llamar “números mágico” o “números especiales” a los múltiplos de 10 para que puedan distinguirlos del resto, y esto ya implica un modelo que no fue concebido por el alumno sino que le fue inducido.

Si bien la suma posicional es un método iterativo, esto es, que se repite hasta que no haya más columna para sumar, beneficia al alumno en dos aspectos: comienza a intuir el concepto de unidad, decena y centena, y por otro lado la misma iteración logra la automatización del método evitando olvidos del algoritmo o detenerse a pensar cómo seguir ante una nueva separación en decenas y unidades como en el paso 4 de la suma en árbol.

En el caso de la resta se complica más con el método del árbol por el hecho de tener que restar una decena al resultado de la resta de las decenas para sumarle 10 y poder restar las unidades, en el caso que el minuendo sea menor que el sustraendo.

En la multiplicación los problemas se acentúan cuando al no poder sumar bien se complica la duplicación, triplicación, etc, de las unidades, decenas, etc, y sumarlas nuevamente.

La división requiere un capítulo aparte, por la diversidad de métodos que se les presentan, que si bien pueden llegar a deducir el resultado, suelen ser a veces en más engorrosos, como el método de restas sucesivas, donde a veces se debe realizar 16 restas de 8 para llegar saber cuánto es 128 : 8.

Peor aún cuando el docente presenta situaciones de divisiones con resultados no enteros, donde el concepto de resto no lo tienen presente, y mucho menos el de un conjunto solución fuera del rango de los enteros positivos.

El principio de reinvención es constructivista

Por otra parte, el principio de reinvención es un principio constructivista, porque supone que el alumno construye la solución a un problema a partir de estrategias basadas en la descomposición. La posición constructivista en matemáticas ha sido definida como la posibilidad de la inteligencia de construir generando el ser matemático. Este no existe en la realidad sino que es construido o inventado por la mente que da las reglas de su obtención. Es decir que con una actividad mental se genera el número y todas las operaciones y también sus propiedades de la cantidad discreta. Lo mismo sucede en geometría con la cantidad continua.

El constructivismo rechaza particularmente la lógica y toda sintaxis dada, rechaza la matemática moderna en la medida en que supone axiomas y trabaja con deducciones. Solamente acepta lo que puede construirse como ser matemático al mismo tiempo que se sabe cómo se construye.

Asimismo el constructivismo –al igual que el formalismo lógico en este punto-, rechaza el fundamento real del conocimiento. En particular, el constructivismo matemático (por ejemplo Brower) no admite que la unidad real sea el principio del número, lo mismo que no admite una cantidad real, ni ningún teorema de existencia. Si bien los intuicionistas se distinguen de los logicistas por rechazar un deductivismo racionalista, coinciden perfectamente en los fundamentos gnoseológicos: ambos rechazan que los principios matemáticos provengan por abstracción formal de la realidad, o sea de la cantidad real de las cosas .

Un logicista diría (como Russell) que un terceto de personas es un ejemplo de 3, y 3 es un ejemplo de número; pero un terceto, no es un ejemplo de número. Y tiene razón desde la lógica de clases. El número 3 pertenece al conjunto de los números naturales, pero un terceto no pertenece al conjunto del 3. Sin embargo, si salimos del logicismo y buscamos de dónde surge 3 en nuestra mente, encontramos que surge por abstracción de un terceto (3 personas, 3 caramelos, etc.)

Un constructivista diría (como Brower) que solamente podemos admitir como ser matemático aquello de lo que podemos dar las reglas de su obtención, o sea lo que puede ser construido. Y no admite ninguna “existencia matemática” que no se identifique con “constructividad actual”.

Trasfondo del constructivismo

Lamentablemente, vemos que la propuesta de la EMR no sale del constructivismo. También Brower pretendía que la matemática estuviese en relación con el mundo.

Podemos agregar que todas las versiones del constructivismo, sea matemático, sea lingüístico, sea pedagógico, son derivados del kantismo. La realidad provee un material desordenado a ordenar por la razón. Y para estar absolutamente seguro de que el objeto será construido por el sujeto que matematiza, que crea la lengua o que se educa en general, hay primero que desarmar, descomponer, desmembrar, destrozar con el fin de obtener las piezas que servirán a la construcción. Y esto es profundamente desorganizador y anti-formativo para un niño, en caso de ser el único método o modo de aprendizaje.

Observamos que en la propuesta pedagógica de la matemática realista esta perspectiva de descomposición extrema se haya aminorada por numerosos ejemplos, situaciones concretas y materiales. Pero también vemos que en el caso del número y la operación, el constructivismo es absoluto.

Por otra parte, uno puede preguntarse por qué los defensores de esta teoría tienen confianza en que los alumnos reinventarán las matemáticas. Posiblemente la respuesta sea la misma que dan los partidarios de la psicogénesis de la lecto-escritura: la ontogénesis reproduce la filogénesis. O quizás, la respuesta sea un sujeto trascendental como propone Kant.

Sin embargo, la realidad es otra. Los niños pueden llegar a habituarse a hacer descomposiciones, lo mismo que pueden habituarse a hacer algoritmos o cualquier otra cosa. Pero reinventar la matemática es cosa seria. Cuesta trabajo pensar que hitos de la historia de la civilización sean recreados en la mente de un niño pequeño en corto tiempo (entre 1º y 6º grado) y por el solo hecho de darle las piezas para ello. El denostado algoritmo tradicional, por ejemplo, no es nunca un punto de llegada espontáneo de la aritmética mental. Si no, sería posible sentar a un niño frente a un montón de palabras recortadas y decirle que rearme el Martín Fierro.

Principio de niveles

Se trata de niveles de matematización no de etapas de una evolución interna. Los niveles son: situacional, referencial, general y formal. Se va desde lo más concreto a lo más abstracto. Estos niveles dependen de los modelos utilizados que son “representaciones de las situaciones donde se reflejan aspectos esenciales de los conceptos y relaciones matemáticas ”.

Los modelos son de dos tipos principales: de tipo concreto (situación, material, dibujo) o de tipo simbólico. Como señalamos más arriba, el símbolo tiene una función comunicativa que se pierde si no es universal, o si, por lo menos, no es compartido con las personas que se dedican a la misma disciplina o al mismo campo dentro de ella. Y ese es el problema que vemos en muchos de los modelos de tipo simbólico utilizados.

Ahora bien, hay que preguntarse si existen realmente dichos niveles. Según la tradicional doctrina de la abstracción, la matemática descansa en un segundo grado de abstracción que separa el número y otras propiedades de la cantidad real, sea discreta, sea continua. No hay necesidad de hacer piruetas para lograr este segundo grado, sino que es natural, dada la madurez del aparato sensorial que es condición para dicha abstracción. Según la misma doctrina la abstracción es natural para la inteligencia, pero todo el trabajo de razonamiento inductivo y deductivo que se haga con los números y también con figuras o cuerpos geométricos se aprende como cualquier ciencia. Dado que la matemática es una ciencia, no es posible aprenderla sin gustarla progresivamente. Y no puede gustar lo que es complejo y confuso al principio, lo que se presenta desde el origen como obstáculo o problema.

Consideramos que de esta propuesta pueden rescatarse todos los modelos concretos entendidos como fuente de experiencia para que sea posible la abstracción matemática. En cuanto a los simbolismos, deberían desecharse todos los que no sean auténticamente representativos y/o que no sean vehículos de comunicación con el universo científico.

Principio de interacción y de interconexión

La EMR propicia la clase con alumnos de distinto nivel en interacción y la interconexión de temas. En cuanto a lo primero, si el docente puede conducir adecuadamente la clase no presenta objeciones.

En cuanto a lo segundo, la objeción es que debe enseñarse con orden. La falta de orden genera confusión en el alumno, que no tiene “herramientas” para salir de ella. Dichas herramientas son los hábitos intelectuales perfectivos y también los métodos y procedimientos apropiados a la materia a tratar o aprender. La interconexión puede hacerse cuando se ha afianzado un determinado conocimiento.

Consideraciones finales.

Además de las observaciones y objeciones que fuimos planteando, queremos señalar algunas cuestiones importantes.

En primer lugar, debemos responder para qué se enseña o se aprende matemática en la escuela primaria. Hay algunas respuestas obvias como la utilidad de saber hacer operaciones básicas y resolver problemas de la vida diaria. Pero también la matemática en tanto ciencia exacta se enseña porque es la introducción en ciertos hábitos científicos que solamente se adquieren cultivando esta disciplina: dichos hábitos desarrollan nuestra capacidad de razonar, de demostrar, de verificar, de ordenar, etc. Y es evidente que no pueden adquirirse a partir de la confusión, de la mezcla, de no dar importancia a la cuenta escrita, de no enseñar el procedimiento más sencillo y eficaz, etc.

En este sentido, la aritmética mental es inverificable mientras no deje de ser mental. Si se quisiera revisar un procedimiento mental, mentalmente, se debería rehacer todo el proceso de descomposición desde el principio, sin posibilidad de detenerse en aquel punto donde la estrategia no funcionó. Y, por otra parte, si se escribe, entonces sus supuestas ventajas caen frente a la eficacia del algoritmo o de la calculadora, ¿por qué, no? Si la calculadora reemplaza al algoritmo, con mucha más razón reemplaza a la cuenta mental.

La cuenta mental tampoco refleja el carácter posicional del sistema decimal, lo cual es un grave defecto que vemos en haber desechado los algoritmos clásicos. (Por otra parte existen métodos pedagógicos para iniciar a los niños pequeños casi jugando sin perder la ventaja de lo más efectivo; por ejemplo, la calle decimal con sus “casas” para unidades, decenas, centenas; el uso de multibase y de regletas para algoritmos, etc.)

Y las descomposiciones aditivas no reflejan el concepto de número, sino solamente el concepto constructivo del mismo (según el cual un número es el resultado de una actividad, por ejemplo, sumar). El número 22, por ejemplo, según la concepción constructivista, es el resultado de 21 + 1, de 20 + 2, de 19 + 3, etc. Pero en realidad 22 representa 22 cosas o 22 características de las cosas (independientemente de si esas cosas son actualmente reales o sólo quedan en la imaginación). Tengo 22 caramelos o tengo 22 caramelos rosados.

Es verdad que en matemática existen tres clases de entes : los aspectos cuantitativos abstraídos de la realidad (número, figura, medida); entes de razón con fundamento más o menos cercano a la realidad (series ordenadas, conjuntos, operaciones, etc.); y finalmente los entes de razón con una relación remota o indirecta con la realidad (espacios con dimensiones infinitas, etc.). Estos últimos son totales construcciones de la razón y su definición es en primer lugar genética o constructiva. Pero los primeros, como el número o la figura, tienen una definición “esencial” antes que constructiva.

Por supuesto, que si no se acepta que la cantidad sea una propiedad real de los cuerpos, no puede aceptarse tampoco que haya entes matemáticos no constructivos.

Además, un análisis siempre supone algo a analizar ya conocido y adquirido anteriormente; y de igual modo, una descomposición siempre supone algo a descomponer. Si no sé sumar no puedo analizar la suma y lo mismo vale para otras operaciones, sean restas, multiplicaciones o divisiones

En cuanto a enseñar operaciones a partir de problemas y la búsqueda de estrategias variadas para resolverlos, presenta también dificultades. En primer lugar, el niño debe resolver problemas sin tener las herramientas básicas para hacerlo. Dichas herramientas son las operaciones básicas. Según esta nueva didáctica deberían aprenderse a la vez o como resultado de entender el problema. Pero eso es muy confuso para el niño e implica un desorden en la enseñanza.

En segundo lugar, la heurística no se identifica con la matemática. Es decir, que está muy bien desarrollar la capacidad de resolver y enfrentar problemas, pero también hay que enseñar matemática. Y si la matemática moderna utilizada como método único fue criticada por su abandono de lo “básico” , la heurística pura adolece de una enfermedad semejante: el bichito de la moda intelectual.

El GPDM cuestiona el derecho de los padres a intervenir en la educación de sus hijos. En la web del GPDM se pueden encontrar algunos consejos para los padres, de los cuales rescatamos que nunca hay que decirle a un niño que una materia le va a costar aprenderla. Pero lamentamos la recomendación de no intervenir en la enseñanza. Es un derecho originario y natural de los padres conducir el aprendizaje de sus hijos (que delegan en parte en la escuela) y aprobar o no determinadas pedagogías o métodos que presentan objeciones, críticas o que por su novedad no estuviesen probados. Sabemos que la investigación es concebida por la EMR como parte del enseñar, pero aunque un padre arruine la investigación de un método por el hecho de intervenir, primero está su hijo y su derecho a aprender.